监理工程师可以注册到建设单位。根据相关规定，监理工程师可以在建设工程勘察、设计、施工、监理、招标代理、造价咨询等企业注册。因此，如果建设单位具备相应的工程监理资质，监理工程师是可以注册到该单位的。
需要注意的是，在变更注册时，监理工程师应当与原聘用单位解除劳动关系，并按照规定办理变更注册手续，以确保注册的有效性和连续性。
监理工程师注册后需要哪些条件？
监理工程师注册流程是怎样的？
监理工程师注册有效期是多久？
